2.2 較短內(nèi)液滴的模式轉(zhuǎn)變規(guī)律

定義內(nèi)外液滴的初始長度為 Li、Lo，通過主通道寬度進(jìn)行無量綱化，得到內(nèi)、外液滴無量綱長度Li/w 和 Lo/w。當(dāng)內(nèi)液滴初始長度為一個(gè)較小值Li/w=1.04 ， 并 固 定 毛 細(xì) 數(shù) 為 Cai=1.88×10-2 和Cao=1.09×10-2 時(shí)，隨著外液滴長度從 Lo/w=2.54 增加到 Lo/w=2.85，雙乳液滴的流動(dòng)模式從不分裂轉(zhuǎn)變?yōu)橐淮畏至?。圖 3 顯示了兩種模式下的界面演化過程，根據(jù)頸部寬度和延伸長度等特征參數(shù)的變化特性，將不分裂模式下的液滴運(yùn)動(dòng)過程劃分為擠壓、過渡和恢復(fù)三個(gè)階段，將一次分裂模式下的液滴運(yùn)動(dòng)過程劃分為擠壓、過渡和斷裂三個(gè)階段。圖 4 給出了無量綱特征參數(shù)隨時(shí)間的定量演化情況。特征參數(shù)包括：外液滴延伸長度 lo、內(nèi)液滴延伸長度 li、外頸部寬度 δo、內(nèi)頸部寬度 δi 和間隙寬度 d，示意圖如圖 3（a）所示。由于擠壓力、剪切力與間隙寬度呈反比，如果內(nèi)液滴偏移，內(nèi)液滴偏移的反方向的間隙寬度更大，對(duì)受力的影響更大，本文重點(diǎn)關(guān)注擠壓力、剪切力與界面張力對(duì)液滴運(yùn)動(dòng)行為的影響，因此選取內(nèi)液滴遠(yuǎn)離一側(cè)的間隙寬度；而當(dāng)內(nèi)液滴不偏移時(shí)，液滴兩側(cè)間隙寬度基本一致，選取液滴兩側(cè)間隙寬度的平均值。所有與長度相關(guān)的量均通過主通道寬度 w 進(jìn)行無量綱化，時(shí)間通過 w/U 進(jìn)行無量綱化，定義無量綱時(shí)間為T=Ut/w，將雙乳液滴完全進(jìn)入分岔結(jié)構(gòu)處的時(shí)刻定義為初始時(shí)間 T=0。由于液滴初始長度不同，為了更加直接地比較延伸速率，采用液滴延伸長度的增量 Δlo 和 Δli，表示液滴瞬時(shí)長度在任意時(shí)刻與初始時(shí)刻之間的差值。

圖 3 不同外液滴長度下的界面演化

對(duì)于不分裂模式（Lo/w=2.54），雙乳液滴在擠壓階段仍然會(huì)發(fā)生變形，內(nèi)、外液滴均沿分支通道方向延伸，如圖 3（a）所示，由于內(nèi)、外液滴體積固定，頸部寬度隨著延伸逐漸減小。而內(nèi)液滴體積較小、曲率大、界面張力大，內(nèi)液滴進(jìn)入 T 形分岔結(jié)構(gòu)后始終保持完整，并且頸部寬度變化較小，所以沒有對(duì)內(nèi)液滴頸部寬度的變化過程展開詳細(xì)討論。當(dāng) T=0.66 時(shí)，運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)入過渡階段，外液滴與通道壁面之間開始形成間隙并且間隙寬度逐漸增加，如圖 4（d）所示。一部分連續(xù)相從間隙流過而非擠壓液滴，而且擠壓力和剪切力都與間隙寬度的冪次方成反比，因此，驅(qū)動(dòng)力隨時(shí)間減小，內(nèi)、外液滴的延伸速率與外液滴的頸縮速率逐漸下降，如圖 4（a）-（c）所示。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力降低至無法克服界面張力時(shí)，界面張力開始起主導(dǎo)作用，使得內(nèi)、外液滴無法繼續(xù)變形，延伸長度和頸部寬度都達(dá)到相應(yīng)的穩(wěn)定值，并持續(xù)一段時(shí)間。

圖 4 不同外液滴長度下無量綱特征參數(shù)的演化情況

在過渡階段，界面張力與驅(qū)動(dòng)力之間的競(jìng)爭(zhēng)使得內(nèi)液滴末端之間逐漸形成曲率差，由此引發(fā)的張力梯度驅(qū)動(dòng)內(nèi)液滴向曲率較小的方向完成橫向偏移。在內(nèi)液滴的影響下，外液滴會(huì)跟隨內(nèi)液滴向相同的方向移動(dòng)，如圖 3（a）所示。此外，外液滴內(nèi)部的流動(dòng)還會(huì)擠壓頸部，使得頸部寬度在 T=2.34 之后開始增加（圖 4（c）），表明運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)入恢復(fù)階段。隨著整體向支路的偏移，內(nèi)、外液滴的延伸長度和頸部都逐漸恢復(fù)至接近初始狀態(tài)。需要注意的是，內(nèi)液滴從最大延伸長度開始恢復(fù)的時(shí)刻明顯早于外液滴，表明外液滴的恢復(fù)受到內(nèi)液滴的影響。對(duì)于一次分裂模式（Lo/w=2.85），內(nèi)液滴的演變過程與不分裂模式的類似，不同的是外液滴會(huì)發(fā)生分裂，如圖 3（b）所示。從圖 4 可以看出，擠壓階段中兩種模式的延伸速率以及外液滴頸部的縮減速率幾乎一致，但隨著間隙的出現(xiàn)，一次分裂模式的延伸速率明顯大于不分裂模式的延伸速率。由于外液滴長度的增加，間隙出現(xiàn)時(shí)間 T=1.03 明顯比不分裂模式下的出現(xiàn)時(shí)間 T=0.66 晚，并且間隙寬度增加的速度較慢，如圖 4（d）所示。因此，界面受到的驅(qū)動(dòng)力也增加，內(nèi)、外液滴延伸速率和頸部寬度的縮減速率較大。這也導(dǎo)致顯著不同的結(jié)果，由于外液滴發(fā)生持續(xù)變形，即使受到內(nèi)液滴影響而產(chǎn)生橫向偏移，外液滴仍然會(huì)在 Rayleigh–Plateau 不穩(wěn)定性的作用下發(fā)生分裂。當(dāng) T=1.78 時(shí)，運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)入斷裂階段，頸部縮減速度突然增加，界面發(fā)生快速斷裂，頸部斷裂產(chǎn)生的巨大壓力使內(nèi)液滴快速恢復(fù)至初始狀態(tài)。

2.3 較長內(nèi)液滴的模式轉(zhuǎn)變規(guī)律

當(dāng)內(nèi)液滴 的初始 長 度 保 持 在 一 個(gè) 較 大 值Li/w=1.6 ， 并 固 定 毛 細(xì)數(shù)為 Cai=2.50×10-2 和Cao=1.46×10-2 時(shí)，隨著外液滴長度的增加，流動(dòng)模式從不分裂轉(zhuǎn)變?yōu)槎畏至?，如圖 5 所示。不同外液滴長度下無量綱特征參數(shù)的演化情況如圖 6 所示。

圖 5（a）中的不分裂模式與圖 3（a）所示的情況非常相似，雙乳液滴的演變過程依然可以分為擠壓、過渡和恢復(fù)三個(gè)階段，特征參數(shù)的演化過程也基本一致，此處不再贅述。隨著外液滴長度的增加，間隙寬度減小，甚至可能呈現(xiàn)如圖 5（b）和 6（d）所示的一直為零的結(jié)果，即液滴處于阻塞狀態(tài)。此時(shí)連續(xù)相施加的擠壓力足以克服內(nèi)、外液滴的界面張力，因此，內(nèi)、外液滴以近似恒定速度向支路方向持續(xù)延伸，直至最終斷裂，如圖 6（a）和（b）所示。

在擠壓階段，內(nèi)、外液滴尾部之間存在初始間距，而外液滴頸部的縮減速率大于內(nèi)液滴，使得界面之間的距離不斷減小，如圖 6（c）所示。當(dāng) T=0.5時(shí)，運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)入過渡階段，界面之間的距離達(dá)到最小。由于界面間相互作用，施加在外界面上的驅(qū)動(dòng)力推動(dòng)內(nèi)、外界面一起減薄，導(dǎo)致外液滴的縮減速度減小，內(nèi)液滴的縮減速度增加，內(nèi)、外液滴尾部之間的間距不斷減小，導(dǎo)致內(nèi)、外頸部的減薄過程逐漸重合，這與 Liu 等的結(jié)果相似。當(dāng) T=1.25時(shí)，運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)入斷裂階段，由于 Rayleigh–Plateau不穩(wěn)定性，內(nèi)、外液滴頸部都發(fā)生快速斷裂。

圖 5 不同外液滴長度下的界面演化

圖 6 不同外液滴長度下無量綱特征參數(shù)的演化情況

2.4 通道結(jié)構(gòu)對(duì)模式轉(zhuǎn)變的影響

對(duì)比前兩節(jié)的結(jié)果可知，雙乳液滴在分岔結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)，內(nèi)外液滴之間可能會(huì)存在相互作用，并且作用的結(jié)果依賴于液滴的初始長度和毛細(xì)數(shù)等參數(shù)，使得雙乳液滴表現(xiàn)出不同的流動(dòng)模式。下面通過這些關(guān)鍵參數(shù)建立流動(dòng)模式的分布圖，并從整體上分析模式間的轉(zhuǎn)變規(guī)律。

針對(duì)單乳液滴，現(xiàn)有研究已經(jīng)建立了較為完善的流動(dòng)模式轉(zhuǎn)變理論，利用毛細(xì)數(shù) Ca 和無量綱液滴長度 L/w 可以定量確定液滴分裂的臨界條件，表示為冪函數(shù)關(guān)系式 L/w=εCaη，式中，ε 和 η 為無量綱的擬合參數(shù)。如圖 7 所示，通過外液滴或內(nèi)液滴的毛細(xì)數(shù)和初始長度，可以分別建立對(duì)應(yīng)分裂的臨界條件。其中，數(shù)據(jù)點(diǎn)為 T 形分岔結(jié)構(gòu)中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，分別表征不分裂模式（NB）、一次分裂模式（OB）、二次分裂模式（TB），藍(lán)色實(shí)線為對(duì)應(yīng)的臨界閾值線，分別表示為 Lo/w=0.79Cai-0.25 和Li/w=0.5Cai-0.5。可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)毛細(xì)數(shù)固定時(shí)，增加液滴長度更有利于分裂，這與前面展示的結(jié)果是一致的。此外，如圖中的黑色虛線所示，Y 形分岔結(jié)構(gòu)中的分裂閾值線分別表示為 Lo/w=0.73Cai-0.25 和Li/w=0.42Cai-0.5。通過對(duì)比可知，Y 形分岔結(jié)構(gòu)中的液滴更容易發(fā)生分裂，這主要是因?yàn)?Y 形分岔結(jié)構(gòu)中尖角對(duì)界面變形的促進(jìn)作用。另一方面，尖角使得液滴發(fā)生橫向偏移的阻力更大，由圖 5 可知，當(dāng)液滴保持在分岔結(jié)構(gòu)的中間位置時(shí)，頸部縮減速度更大，更易于液滴的分裂。

圖 7 雙乳液滴分裂臨界閾值

為了更直觀地展示流動(dòng)模式的分布及控制參數(shù)的影響，可以利用內(nèi)、外液滴所涉及的 4 個(gè)控制參數(shù)建立如圖 8 所示的分布圖，其中的數(shù)據(jù)點(diǎn)與圖 7中的數(shù)據(jù)相同，為 T 形分岔結(jié)構(gòu)中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。水平線代表外液滴分裂的臨界線，表征作用在外界面上的驅(qū)動(dòng)力；豎直線代表內(nèi)液滴分裂的臨界條件，表征作用在內(nèi)界面上的驅(qū)動(dòng)力。顏色所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)與圖 7 保持一致，藍(lán)色實(shí)線代表 T 形結(jié)構(gòu)，黑色虛線代表 Y 形結(jié)構(gòu)。

圖 8 雙乳液滴流動(dòng)模式分布圖

毛細(xì)數(shù)較小時(shí)，即圖 8 中的左下角區(qū)域，較小的驅(qū)動(dòng)力無法克服界面張力，因此呈現(xiàn)不分裂模式（NB）。隨著外液滴長度增加，即圖 8 中的左上角區(qū)域，外液滴分裂所需要克服的界面張力減小，并且間隙減小導(dǎo)致驅(qū)動(dòng)力增加，因此外液滴可以分裂；然而內(nèi)液滴較大的界面張力仍然無法被克服，最終呈現(xiàn)一次分裂模式（OB）。當(dāng)內(nèi)液滴長度也增加時(shí)，即圖 8 中的右上角區(qū)域，其界面張力也更加容易被克服，因此內(nèi)、外液滴都發(fā)生分裂，呈現(xiàn)二次分裂模式（TB）。需要說明的是，右下角區(qū)域不分布任何數(shù)據(jù)點(diǎn)，因?yàn)橥庖旱螌?duì)內(nèi)核液滴的包裹，物理上不可能出現(xiàn)內(nèi)液滴發(fā)生分裂而外液滴完好無損的現(xiàn)象。此外，T 形分岔通道的分裂臨界線總是比 Y 形通道的要高，表明了 Y 形分岔結(jié)構(gòu)對(duì)液滴分裂的促進(jìn)作用?？傊?，三種模式被很好的劃分在不同的區(qū)域，并且模式之間的轉(zhuǎn)變規(guī)律非常清楚，表明了圖8 建立的分布圖的有效性。

3 結(jié)論

本文通過實(shí)驗(yàn)研究了 T 形和Y形兩種分岔結(jié)構(gòu)中的雙乳液滴運(yùn)動(dòng)特性，劃分了二次分裂、一次分裂以及不分裂三種流動(dòng)模式。隨著外液滴長度的增加，確定了兩種流動(dòng)模式轉(zhuǎn)變規(guī)律，當(dāng)內(nèi)液滴長度較小時(shí)，從不分裂轉(zhuǎn)變?yōu)橐淮畏至眩划?dāng)內(nèi)液滴長度較大時(shí)，從不分裂轉(zhuǎn)變?yōu)槎畏至?。模式轉(zhuǎn)變的原因是液滴長度增加后界面受力的增大，使液滴更容易發(fā)生分裂，通過液滴初始長度和毛細(xì)數(shù)可以定量表示分裂的臨界閾值，并建立 4 個(gè)控制參數(shù)決定的流動(dòng)模式分布圖。相比于 T 形結(jié)構(gòu)，Y 形結(jié)構(gòu)的尖角更有利于液滴界面的變形，有助于分裂。本研究有助于進(jìn)一步加深對(duì)微尺度多相流動(dòng)機(jī)理的理解，為調(diào)整雙乳液滴的尺寸、殼厚、多分散性等特性提供技術(shù)指導(dǎo)。

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