1.引言

紙是由纖維素和纖維素之間的孔隙所構(gòu)成的多孔結(jié)構(gòu)。纖維素通過機械或者化學(xué)制漿的方法從木料中分離出來，纖維素與水的懸浮物經(jīng)過攪拌、過濾、絲網(wǎng)沉降、干燥等單元操作便形成了紙張。紙的孔隙結(jié)構(gòu)和形貌具有各向異性和無序的特點(圖 1)。在沉降過程中纖維素逐層堆積，一層內(nèi)的纖維一般不會交織到鄰近兩層以外的層內(nèi)，不同層間纖維素通過氫鍵連接，從而維持結(jié)構(gòu)的整體性。各層內(nèi)纖維分布的位置、方向和形貌都是隨機的。單根纖維素的截面中空(圖 2)，其截面直徑為幾十微米(~20 μm)，纖維長度為毫米量級(~2 mm)遠大于截面尺寸。一般而言，紙在厚度方向具有 10 層左右纖維，在面內(nèi)方向的特征孔隙尺寸為幾十微米。

紙在許多應(yīng)用中的性能都與其孔隙微結(jié)構(gòu)內(nèi)的流動特性相關(guān)。例如，辦公用紙為保持表面光潔且不透光需要在表面噴涂微細(xì)顆粒進行修飾，紙的孔隙結(jié)構(gòu)對噴涂料的滲流過程具有重要影響；墨料在紙孔隙內(nèi)的擴散對印刷質(zhì)量具有很大的影響；包裝紙中氣體的穿透性能也與孔結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。近年來，紙質(zhì)微流控芯片被廣泛應(yīng)用于即時檢測，具有快速、成本低和操作簡單等優(yōu)點，在疾病、環(huán)境和食品安全檢測和監(jiān)控等領(lǐng)域具有重大應(yīng)用前景。這其中涉及到毛細(xì)力驅(qū)動下檢測液體在試紙孔隙結(jié)構(gòu)內(nèi)的反應(yīng)滲流過程，因此研究紙內(nèi)滲流特性及其與微結(jié)構(gòu)的關(guān)系對于解釋檢測結(jié)果和提高檢測的靈敏度和準(zhǔn)確度都有重要意義。本文主要概述了紙內(nèi)毛細(xì)滲流理論和流動控制及其在即時檢測應(yīng)用中的研究進展。

2.  宏觀毛細(xì)滲流

2.1.  單向滲流

潤濕液體在試紙內(nèi)的自吸滲流由三相界面處的毛細(xì)力驅(qū)動，毛細(xì)力的大小由拉普拉斯方程確定：

其中 σ 為液體的表面張力，θ 為接觸角，r eff 為多孔介質(zhì)的等效半徑。飽和液體在試紙內(nèi)的粘性流動阻力通過達西定律計算：

其中，μ 為液體的動力粘度；ε 和 K 分別為孔隙率和滲透率，兩者都是多孔介質(zhì)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，v 為流動速度，L 為已吸入試紙內(nèi)液體的長度。將流速寫成吸入試紙內(nèi)液體的長度對時間的倒數(shù)并代入式(2)可得：

吸入液體的流動加速度僅在試紙與液體接觸的初始階段具有影響[3]，如果忽略加速度引起的慣性力，吸入液體流動受毛細(xì)力與粘性力平衡控制：

式(5)即為描述潤濕液體在多孔介質(zhì)中毛細(xì)滲流過程的 Washburn 方程，最早由 Washburn 考慮液體在毛細(xì)管內(nèi)的上升過程推導(dǎo)得到[4]。式(5)表明吸入液體長度與時間的 0.5 次方成正比。Washburn 方程適用于紙片水平放置下的吮吸過程，當(dāng)紙豎直放置時還需要考慮重力的影響，考慮毛細(xì)力、粘性力、重力平衡的控制方程為[5]：

液體沿紙面上升的過程中會從表面蒸發(fā)，蒸發(fā)導(dǎo)致紙內(nèi)液體的流量(流速)增大，附加流量會產(chǎn)生附加粘性流動阻力，這部分附加阻力可采用達西定律描述，考慮毛細(xì)力、粘性力、重力、蒸發(fā)效應(yīng)的控制方

程為[5]：

式(7)中最后一項為蒸發(fā)導(dǎo)致液體在紙內(nèi)流動產(chǎn)生的達西粘性流阻，P 為紙的潤濕周長，A 為橫截面積。em&為濕紙面的蒸發(fā)速率——單位面積單位時間蒸發(fā)質(zhì)量，假定為常量，即不隨紙面位置和時間改變，其值取決于液體種類、溫度、以及空氣飽和度。

Washburn 方程及其改進模型假定液面所經(jīng)過部分的孔隙內(nèi)的液體完全飽和，孔隙內(nèi)液體飽和度在吸入前緣位置存在跳躍變化，但實驗觀察發(fā)現(xiàn)在液體上升到一定高度后液體飽和度在吸入前緣附近存為梯度變化，通過求解 Richard 方程考慮非飽和液體在多孔介質(zhì)中毛細(xì)吮吸過程。

2.2.  徑向滲流

徑向滲流考慮在多孔介質(zhì)中心半徑為 R 0 的區(qū)域不受限制供液，液體在毛細(xì)力驅(qū)動下在多孔介質(zhì)內(nèi)的徑向擴散過程。為推導(dǎo)液體擴散半徑與時間的關(guān)系，我們從達西定律出發(fā)：

其中 Q 為體積流量，A (= 2πRH)為橫截面積，H 為紙的厚度。式(8)積分得到：

其中 Q 為體積流量，A (= 2πRH)為橫截面積，H 為紙的厚度。式(8)積分得到：

ΔP c 為毛細(xì)壓差，R 為濕部多孔介質(zhì)的半徑。將體積流量(流速)寫成濕部半徑對時間的倒數(shù)：

注意，式(10)及式(2)中的速度 v 為多孔介質(zhì)孔隙平均速度。將式(10)代入式(9)可得：

式(11)積分并將毛細(xì)壓差 ( ) 2 cosc effP r σ θ ? = 代入濕部半徑與時間的解析關(guān)系[8] [9]：

2.3.  液滴滲流

包括即時檢測在內(nèi)的很多應(yīng)用中都涉及到液滴在紙內(nèi)的滲流，目前有關(guān)液滴在多孔介質(zhì)內(nèi)毛細(xì)滲流的理論研究較少，主要是實驗研究。實驗結(jié)果表明液滴掉落在紙上后的滲流過程可分為兩個階段：初始侵入紙內(nèi)過程和后期慢速擴散過程。液滴在紙面上擴散開的半徑隨時間關(guān)系為[10]：

其中 V 為液滴體積，K 為經(jīng)驗參數(shù)，時間項指數(shù) n 為 0.3 左右，比徑向滲流情況下 n = 1 小得多。Danini和 Marmur [11]進行了如圖 3 所示的四種情況紙吸水試驗，(a) 水平單相滲流；(b) 液滴滲流；(c) 無限供液徑向滲流；(d) 受限供液徑向滲流。其中圖 3(d)中受限供液試驗是將圖 3(c)中液池與紙之間連接的毛細(xì)導(dǎo)體在一段時間后移除，以類比圖 3(b)中液滴滲流時受限供液的情形。結(jié)果表明，液滴滲流的擴散速度比徑向滲流慢，而與受限供液徑向滲流的動力學(xué)接近，因此揭示了液滴滲流比徑向滲流擴散速度慢的原因是由于受限和無限供液所導(dǎo)致的。

作者：馮上升，陳玧如，盧天健，徐 峰 

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